Jetzt muß ich da auch mal meinen Senf dazu loslassen.
Ich würde dringend zu einem 29"-Rad raten. Für diesen Anwendungszweck sehe ich keinerlei Vorteile in einem kleineren Rad. Falls du Angst hast, daß du mit dem größeren Rad nicht zurecht kommst, ist diese unbegründet. Das lernst du schneller als du glaubst. Und man kann auch mit einem großen Rad langsam fahren. Falls also dein Vater auf einem 24"-Rad besteht, weil er befürchtet, daß du ihm sonst davonfährst, ist auch das kein Argument. Natürlich kann man mit einem größeren Rad schneller fahren, aber man muß nicht.
Sämtliche “Fahrradteile” wie Felge, Speichen, Schlauch, Reifen, Pedale kannst du aus dem Fahrradzubehör beziehen. Es gibt da (bis auf ganz wenige Ausnahmen) keine Teile, die speziell für Einräder gefertigt werden. Anders sieht es natürlich aus bei speziellen Einradteilen wie Gabel, Nabe, Sattel, … Aber das dürfte ziemlich offensichtlich sein. Trotzdem macht es aus preislichen Gründen meist Sinn, sich ein komplettes Einrad zu kaufen und nicht aus 3 verschiedenen Quellen Teile zusammenzukaufen und sich ein Einrad zusammenzubauen. Sämtliche einschlägigen Einradhändler tauschen dir auch einzelne Teile von Kompletteinrädern gegen deine Wunschteile aus. Falls du also sagst, ich will Einrad x, aber bitte mit einem anderen Sattel und anderem Reifen, ist das kein Problem.
Dein Budget von 150 Euro reicht allerdings nicht besonders weit. Falls du da nochmal 100 Euro drauflegen kannst, gibt es gute Empfehlungen (wurden ja auch schon genannt). Woher kommt diese Budgetgrenze? Ist das das, was dein Vater bereit ist zu investieren? Entspricht das dem Füllstand deines Sparschweins? Oder kommt das vom Gefühl, daß ein Einrad nicht mehr kosten sollte? Letzteres solltest du überdenken. Bei den beiden ersten Argumenten wäre eine Option, daß dein Vater einen Teil finanziert und du den Rest drauflegst. Und wenn du das Einrad nicht nur für die Laufbegleitung nutzt, sondern z.B. auch als Verkehrsmittel, spart das evtl. die Kosten fürs nächste Fahrrad (vgl. z.B. hier und hier).